Александр Цыганков — уроженец сибирского города Омска, в котором он получил начальное и среднее музыкальное образование (педагоги Г.А. Ланин и В.Г. Патрашова). В 1967 году успешно сдал вступительные экзамены в Государственный музыкально-педагогический институт имени Гнесиных, где занимался в классе домры профессора Р.В. Белова. В 1976 году закончил ассистентуру-стажировку Института (сейчас Российская академия музыки имени Гнесиных), что позволило успешно сочетать сольную и педагогическую деятельность в стенах РАМ имени Гнесиных. Успех на международном конкурсе 9го Всемирного фестиваля молодёжи и студентов в Болгарии в 1968 году и победа на 1 Всероссийском конкурсе исполнителей на народных инструментах в Москве в 1972 году (1 место) положили начало интенсивной сольной деятельности в дуэте с женой-пианисткой, дипломантом Всероссийского конкурса, Заслуженной артисткой РФ Инной Шевченко по линии Росконцерта, Союзконцерта и Госконцерта. Параллельно Александр Цыганков выступает в концертах Национального академического оркестра народных инструментов России имени Н.П. Осипова в качестве солиста и концертмейстера группы малых домр. В этот период расцветает и композиторский талант музыканта, который создаёт концертный репертуар для домры и фортепиано, оркестровые произведения, сочинения для других инструментов и голоса. Александр Цыганков в 2012году был принят в Московскую композиторскую организацию и в течение 10 лет является членом Союза композиторов.
В 1982 году Александр Цыганков принят в штат КФО Москонцерта и в течение 40 лет ведёт концертную деятельность по всей территории Российской Федерации и за рубежом. Его виртуозную игру слышали любители музыки Швеции, Норвегии, Финляндии, Германии, Эквадора, Франции, Японии, Турции, США и других стран.
В настоящее время музыкант ведёт активную культурно-общественную работу, являясь членом двух экспертно-художественных Советов Министерства культуры РФ, членом Главной аттестационной комиссии ДОП-СКиИ Департамента культуры г. Москвы, экспертом Национального фонда культуры, председателем жюри многих исполнительских конкурсов. В 2004 профессор А.А. Цыганков награждён Орденом Дружбы, в 2008 удостоен Премии Правительства РФ в области культуры.